Monty Hall Problemi?

Matematik bir çok insanın korkulu rüyasıdır. Hele ki istatistik gibi daha özel bir alanından bahsedecek olursak işler oldukça kötü görünebilir. Biyoinformatik alanında bir şeyler yapmak isteyen insanlar için ise istatistik kaçınılmaz bir alandır. O ya da bu şekilde bu alana bir şekilde girmek gerekli. İstatistik alanında bazı sorular vardır. Bu işi çok iyi bilenleri bile ters köşeye yatırabilecek sorular. Monty Hall problemi de kesinlikle bu sorulardan biri. Bu problemi daha önce bir yerde duymuş yada bir filmde görmüş olabilirsiniz. Problem şöyle:

Önünüzde üç tane kapalı kapı var. Bunlardan birinin arkasında son model bir otomobil, diğer ikisinin arkasında ise birer keçi var. Kapılardan birini seçiyorsunuz, ama henüz açılmıyor. Monty Hall hangi kapının arkasında araba olduğunu biliyor. Seçmediğiniz iki kapıdan birini açıyor ve o kapının arkasındaki keçiyi görüyorsunuz. Monty Hall isterseniz tercihinizi değiştirip, açılmamış diğer kapıyı seçebileceğinizi söylüyor. Peki bu durumda ne yaparsınız? Kapıyı değiştirmek kazanma olasılığınızı değiştirir mi?

Bu problemi ilk kez duyan bir çok insan değiştirmenin bir etkisi olmayacağını düşünüyor. Çünkü onlara göre son durumda iki kapalı kapı var ve oyuncunun seçtiği kapının arkasında araba bulunması ihtimali ½. Bu da kazanma ihtimali değiştirmemektedir.Fakat işler o kadar basit değil; Monty’nin arabanın hangi kapı arkasında olduğunu bilmesi ve özellikle keçili kapıyı açıyor olması problemi değiştiriyor. Şimdi soruyu biraz değiştirelim.

Önünüzde 1000 tane kapalı kapı var. Bunlardan birinin arkasında son model bir otomobil, diğer 999'unun arkasında ise birer keçi var. Kapılardan birini seçiyorsunuz, ama henüz açılmıyor. Monty Hall hangi kapının arkasında araba olduğunu biliyor. Seçmediğiniz 999 kapıdan 998'ini açıyor ve o kapıların arkasındaki keçileri görüyorsunuz. Monty Hall isterseniz tercihinizi değiştirip, açılmamış diğer kapıyı seçebileceğinizi söylüyor. Peki bu durumda ne yaparsınız? Kapıyı değiştirmek kazanma olasılığınızı değiştirir mi?

Aslında iki soru arasında hiç bir fark yok. Yapılması gereken bütün hesaplamalar aynı. Bu soru için hesaplamamızı yapalım. Yarışmacının seçtiği kapının arkasında araba olma ihtimali 1/1000'dir. Seçmediği herhangi bir kapının arkasında olma ihtimali ise 999/1000'dir.

Oyuncunun seçmediği kapılardan 990 tanesi açıldığında iki kapı kalır. Biri oyuncunun seçtiği kapı diğeri ise Monty'nin kapalı bıraktığı kapı.

Kapıların açılması Monty'nin bıraktığı kapının arkasında araba olması ihtimalini 999/1000 yapmıştır. Yani yarışmacı kapıyı değiştirirse arabayı bulma ihtimali birden bire 999/1000'e çıkacaktır.

Bin yerine üç kapı varsa, aynı akıl yürütmeyle oyuncunun arabayı kazanma şansı başta ⅓ iken, tercihini değiştirirse ⅔’e yükseleceğini görebiliriz. Kapıyı değiştirmek her zaman daha avantajlı. Eğer anlattıklarıma ikna olmamışsanız bu oyunu buradan oynayarak kendiniz test edebilirsiniz. Kapıyı değiştirmenin yarışmayı kazanmak demek olmadığına dikkat edin. Kapıyı değiştirmek sadece kazanma ihtimalimizi arttırıyor. Şansa ve riske bağlı olaylarda strateji hiç bir zaman ihtimali yüzde yüze çıkarmaz.  Kazanma ihtimalinin ⅔ olması, mesela üç milyon kere bu oyunu oynasanız, tercihinizi değiştirdiğinizde yaklaşık iki milyon seferinde arabayı kazanabileceğiniz anlamına gelir.

Bilgi paylaştıkça güzelleşir. Paylaşarak öğrenmek dileğiyle.

Osman